利用单调有界准则证明数列{Xn}收敛,并求其极限(如何利用单调有界准则证明数列收敛)

2024-04-10 17:17:52 趣味生活 0 阅读 投稿:villain
最佳答案如下:首先,由X1=a>0及Xn+1=1/2(Xn+1/Xn),得所有Xn>0(n为自然数)。(由这个公式,可知Xn+1与Xn符合相同,而X1大于0,因此所有{Xn}中元素均大于0。这个是利用下面不等式的基础)其次证明有界:Xn+1=1/2

如下:

首先,由X1=a>0及Xn+1=1/2(Xn+1/Xn),得所有Xn>0(n为自然数)。(由这个公式,可知Xn+1与Xn符合相同,而X1大于0,因此所有{Xn}中元素均大于0。这个是利用下面不等式的基础)其次证明有界:Xn+1=1/2(Xn+1/Xn)>=1/2*2*√(Xn*1/Xn)=1( 利用a+b>=2√ab)。

因此Xn>=1(n>1)由单调有输准则,数列{Xn}收敛,由上可知,其极限=1。

任一项的绝对值都小于等于某一 正数的数列。有界数列是指 数列中的每一项均不超过一个固定的区间,其中分上界和下界。假设存在定值a,任意n有{An(n为下角标,下同)=B,称数列{An}有下界B,如果同时存在A、B时的数列{An}的值在区间[A,B]内,数列有界。

单调有界定理:若数列{an}递增有上界(递减有下界),则数列{an}收敛,即单调有界数列必有极限。具体来说,如果一个数列单调递增且有上界,或单调递减且有下界,则该数列收敛。

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